2. 考研
  3. 设当0≤x＜1时，f(x)=x(b2-x2)，且当-1≤x＜0时，f(x)=af(x+1)，并设f’(0)存在，则a=________，b=________，f’(0)=________．

设当0≤x＜1时，f(x)=x(b2-x2)，且当-1≤x＜0时，f(x)=af(x+1)，并设f’(0)存在，则a=________，b=________，f’(0)=________．

admin2022-06-04  117
问题 设当0≤x＜1时，f(x)=x(b2-x2)，且当-1≤x＜0时，f(x)=af(x+1)，并设f’(0)存在，则a=________，b=________，f’(0)=________．
选项
答案a=-1/2，b=±1，f’(0)=1或a=0，b=0，f’(0)=0．
解析 当-1≤x＜0时，0≤x+1＜1，从而有
    f(x)=af(x+1)=a(x+1)[b2-(x+1)2]
    于是
   
    由f’(0)存在，得f(x)在x=0处连续，得a(b2-1)=0，
    再考虑f(x)在x=0处的左、右导数，
   
    由f’(0)存在，得b2=ab2-3a，所以a=0，b=0，或a=-1/2，b=±1．
    当a=0，b=0时，f’(0)=0；当a=-1/2，b=±1时，f’(0)=1．
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考研数学三

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