设抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x＝1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

admin2019-12-24 55

问题设抛物线y＝ax²＋bx＋c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x＝1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

选项

答案由题设知曲线过点(0，0)，代入得c＝0，故y＝ax²＋bx。 [*] 如图所示，从x→x＋dx的面积为dS＝ydx，所以 [*] 由已知得a／3＋b／2＝1／3，即b＝2－2a。当y＝ax²＋bx绕x轴旋转一周时，从x→x＋dx的体积为dV＝πy²dx，所以旋转体的体积为 [*] 由b＝2－2a／3得V＝[*]，这是一个含有a的函数，两边对a求导得 dV／da＝π／27(4／5a＋1)，令其等于0，得唯一驻点a＝－5／4，又[*]，故此点为极小值点，即当a＝－5／4时体积最小，这时b＝3／2，故所求函数为 y＝ax²＋bx＋c＝－5／4x²＋3／2x。

解析本题主要考查定积分的应用，熟记平面图形的面积公式和旋转体的体积公式是解决本题的关键。

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考研数学三

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设抛物线y＝ax2＋bx＋c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x＝1所围图形的面积为1／3，试确定a，b，c的值，使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

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