设抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1/3,试确定a,b,c的值,使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

admin2019-12-24  53

问题 设抛物线y=ax2+bx+c过原点,且当0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为1/3,试确定a,b,c的值,使所围图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。

选项

答案由题设知曲线过点(0,0),代入得c=0,故y=ax2+bx。 [*] 如图所示,从x→x+dx的面积为dS=ydx,所以 [*] 由已知得a/3+b/2=1/3,即b=2-2a。 当y=ax2+bx绕x轴旋转一周时,从x→x+dx的体积为dV=πy2dx,所以旋转体的体积为 [*] 由b=2-2a/3得V=[*],这是一个含有a的函数,两边对a求导得 dV/da=π/27(4/5a+1), 令其等于0,得唯一驻点a=-5/4,又[*],故此点为极小值点,即当a=-5/4时体积最小,这时b=3/2,故所求函数为 y=ax2+bx+c=-5/4x2+3/2x。

解析 本题主要考查定积分的应用,熟记平面图形的面积公式和旋转体的体积公式是解决本题的关键。
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