设f(x)在(一∞,+∞)连续,以T为周期,令F(x)=∫0xf(t)dt,求证: (I)F(x)一定能表成:F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数; (Ⅱ) (Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(一∞,+∞)),n为自然数,则

admin2021-11-15  39

问题 设f(x)在(一∞,+∞)连续,以T为周期,令F(x)=∫0xf(t)dt,求证:
(I)F(x)一定能表成:F(x)=kx+φ(x),其中k为某常数,φ(x)是以T为周期的周期函数;
(Ⅱ)
(Ⅲ)若又有f(x)≥0(x∈(一∞,+∞)),n为自然数,则当nT≤x<(n+1)T时,有
    n∫0Tf(x)dx≤∫0xf(t)dt<(n+1)∫0Tf(x)dx.

选项

答案(I)即确定常数k,使得φ(x)=F(x)一kx以T为周期.由于 φ(x+T)=F(x+T)一k(x+T)=∫0xf(t)dt-kx+∫xx+Tf(t)dt一kT =φ(x)+∫0Tf(t)dt一kT, 因此,取[*],φ(x)=F(x)一kx,则φ(x)是以T为周期的周期函数.此时 [*] (Ⅱ)不能用洛必达法则.因为[*]不存在,也不为∞.但∫0xf(t)dt可表示成 [*] φ(x)在(一∞,+∞)连续且以T为周期,于是,φ(x)在[0,T]有界,在(一∞,+∞)也有界.因此 [*] (Ⅲ)因f(x)≥0,所以当nT≤x<(n+1)T时, n∫0Tf(t)dt=∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt<∫0(n+1)Tf(t)dt=(n+1)∫0Tf(t)dt

解析
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