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设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2,t∈(0,1),则 (Ⅰ)若f"(x)>0(∈(a,b)),有 f[tx1+(1一t)x2]<t f(x1)+(1一t)f(x2), (4.6) 特别有[f(x1)+f(x2
设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2,t∈(0,1),则 (Ⅰ)若f"(x)>0(∈(a,b)),有 f[tx1+(1一t)x2]<t f(x1)+(1一t)f(x2), (4.6) 特别有[f(x1)+f(x2
admin
2020-03-05
17
问题
设f(x)在(a,b)二阶可导,
x
1
,x
2
∈(a,b),x
1
≠x
2
,
t∈(0,1),则
(Ⅰ)若f"(x)>0(
∈(a,b)),有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]<t f(x
1
)+(1一t)f(x
2
), (4.6)
特别有
[f(x
1
)+f(x
2
)];
(Ⅱ)若f"(x)<0(
x∈(a,b)),有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]>tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
), (4.7)
特别有
[f(x
1
)+f(x
2
)].
选项
答案
(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似,下面只证(Ⅰ).因f"(x)>0(x∈(a,b)) → f(x)在(a,b)为凹的 → (4.5)相应的式子成立.注意tx
1
+(1一t)x
2
∈(a,b) → f(x
1
)>[tx
1
+(1一t)x
2
]+f’[tx
1
+(1一t)x
2
][x
1
一(tx
1
+(1一t)x
2
)] =f[tx
1
+(1一t)x
2
]+f’[tx
1
+(1一t)x
2
](1一t)(x
1
一x
2
), f(x
2
)>f[tx
1
+(1一t)x
2
]+f’[tx
1
+(1一t)x
2
][x
2
一(tx
1
+(1一t)x
2
)] =f[tx
1
+(1一t)x
2
]一f’[tx
1
+(1一t)x
2
]t(x
1
一x
2
), 两式分别乘t与(1一t)后相加得 tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
)>f[tx
1
+(1一t)x
2
].
解析
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考研数学一
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