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设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f"(x)＞0(∈(a，b))，有 f[tx1+(1一t)x2]＜t f(x1)+(1一t)f(x2)， (4．6) 特别有[f(x1)+f(x2
设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f"(x)＞0(∈(a，b))，有 f[tx1+(1一t)x2]＜t f(x1)+(1一t)f(x2)， (4．6) 特别有[f(x1)+f(x2
admin
2020-03-05
19
问题
设f(x)在(a，b)二阶可导，
x
1
，x
2
∈(a，b)，x
1
≠x
2
，
t∈(0，1)，则
(Ⅰ)若f"(x)＞0(
∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]＜t f(x
1
)+(1一t)f(x
2
)， (4．6)
特别有
[f(x
1
)+f(x
2
)]；
(Ⅱ)若f"(x)＜0(
x∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1一t)x
2
]＞tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
)， (4．7)
特别有
[f(x
1
)+f(x
2
)]．
选项
答案
(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f"(x)＞0(x∈(a，b)) → f(x)在(a，b)为凹的 → (4．5)相应的式子成立．注意tx
1
+(1一t)x
2
∈(a，b) → f(x
1
)＞[tx
1
+(1一t)x
2
]+f’[tx
1
+(1一t)x
2
][x
1
一(tx
1
+(1一t)x
2
)] =f[tx
1
+(1一t)x
2
]+f’[tx
1
+(1一t)x
2
](1一t)(x
1
一x
2
)， f(x
2
)＞f[tx
1
+(1一t)x
2
]+f’[tx
1
+(1一t)x
2
][x
2
一(tx
1
+(1一t)x
2
)] =f[tx
1
+(1一t)x
2
]一f’[tx
1
+(1一t)x
2
]t(x
1
一x
2
)， 两式分别乘t与(1一t)后相加得 tf(x
1
)+(1一t)f(x
2
)＞f[tx
1
+(1一t)x
2
]．
解析
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考研数学一
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