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如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E、F、O分别为PA、PB、AC的中点,AC=16,PA=PC=10. 证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,0B的距离.
如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E、F、O分别为PA、PB、AC的中点,AC=16,PA=PC=10. 证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,0B的距离.
admin
2019-06-01
63
问题
如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E、F、O分别为PA、PB、AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
证明:在△ABO内存在一点M,使FM⊥平面BOE,并求点M到OA,0B的距离.
选项
答案
在平面OAP内,过点P作PN⊥OE,交OA于点N,交OE于点Q.连结BN,过点F作FM∥PN,交BN于点M.下证FM⊥平面BOE. 由题意得OB⊥平面PAC,所以OB⊥PN,又因为PN⊥OE,所以PN⊥平面BOE,因此FM⊥平面BOE.在Rt△OAP中,OE=[*]PA=5.PQ=[*],COS∠NPO=[*],ON=OP·tan∠NPO=[*]<OA,所以点N在线段OA上.因为F点是PB的中点,所以M是BN的中点. 因此点M在△AOB内,点M到OA,OB的距离分别为[*]. [*]
解析
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