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设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’’(c)=0.
设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x2f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’’(c)=0.
admin
2019-03-21
12
问题
设f(x)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x
2
f(x),求证:在(0,1)内存在c,使得F’’(c)=0.
选项
答案
由于F(0)=F(1)=0,F(x)在[0,1]可导,则[*]ξ
1
∈(0,1),F’(ξ
1
)=0.又 F’(x)=x
2
f’(x)+2xf(x), 及由F’(0)=0,F’(ξ
1
)=0,F’(x)在[0,1]可导,则[*]ξ
2
∈(0,ξ)使得F’’(ξ
2
)=0.又 F’’(x)=x
2
f’’(x)+4xf’(x)+2f(x), 及由F’’(0)=F’’(ξ
2
)=0,F’’(x)在[0,1]可导,则[*]c∈(0,ξ
2
)使得F’’’(c)=0.
解析
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考研数学二
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