设A，B是n阶可逆矩阵，且A-1～B-1，则下列结果 ①AB～BA ②A～B ③A2～B2 ④AT～BT 正确的个数为( )

admin2023-01-04 19

问题设A，B是n阶可逆矩阵，且A^-1～B^-1，则下列结果
①AB～BA
②A～B
③A²～B²
④A^T～B^T
正确的个数为( )

选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．

答案D

解析由BA=EBA=A^-11ABA=A^-1(AB)A，知AB～BA．
由A^-1～B^-1，知存在可逆矩阵P，使得P^-1A^-1P=B^-1．两边同时求逆，得
P^-1AP=B， (*)
故A～B．式(*)两边同时取转置，得P^TA^T(P^-1)^T=B^T，即
P^TA^T(P^T)^-1=B^T，
故A^T～B^T．又由p^-1AP·P^-1AP=P^-1A²P=B²，知A²2～B²．D正确．

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