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设A,B是n阶可逆矩阵,且A-1~B-1,则下列结果 ①AB~BA ②A~B ③A2~B2 ④AT~BT 正确的个数为( )
设A,B是n阶可逆矩阵,且A-1~B-1,则下列结果 ①AB~BA ②A~B ③A2~B2 ④AT~BT 正确的个数为( )
admin
2023-01-04
20
问题
设A,B是n阶可逆矩阵,且A
-1
~B
-1
,则下列结果
①AB~BA
②A~B
③A
2
~B
2
④A
T
~B
T
正确的个数为( )
选项
A、1.
B、2.
C、3.
D、4.
答案
D
解析
由BA=EBA=A
-1
1ABA=A
-1
(AB)A,知AB~BA.
由A
-1
~B
-1
,知存在可逆矩阵P,使得P
-1
A
-1
P=B
-1
.两边同时求逆,得
P
-1
AP=B, (*)
故A~B.式(*)两边同时取转置,得P
T
A
T
(P
-1
)
T
=B
T
,即
P
T
A
T
(P
T
)
-1
=B
T
,
故A
T
~B
T
.又由p
-1
AP·P
-1
AP=P
-1
A
2
P=B
2
,知A
2
2~B
2
.D正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/FigD777K
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考研数学一
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