2. 考研
  3. 设f(x)在[1，+∞)内可导，f′(x)＜0且f(k)-∫1nf(x)dx.证明：{an}收敛且0≤an≤f(1).

设f(x)在[1，+∞)内可导，f′(x)＜0且f(k)-∫1nf(x)dx.证明：{an}收敛且0≤an≤f(1).

admin2022-08-19  23
问题 设f(x)在[1，+∞)内可导，f′(x)＜0且f(k)-∫1nf(x)dx.证明：{an}收敛且0≤an≤f(1).
选项
答案因为f′(x)＜0，所以f(x)单调减少. 又因为an+1-an=f(n+1)-∫nn+1f(x)dx=f(n+1)-f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])， 所以{an}单调减少. [*] 因为an=f(1)+[f(2)-∫12f(x)dx]+…+[f(n)-∫n-1nf(x)dx]， 而f(k)-∫k-1kf(x)dx≤0(k=2，3，…，n)，所以an≤f(1)，从而[*]
解析
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考研数学三

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