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  3. 设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组．则( )正确.

设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组．则( )正确.

admin2019-01-25  49
问题 设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组．则(    )正确.
选项 A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．
B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n一3，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．
C、如果η1，η2，η3等价于AX=0的一个基础解系．则它也是AX=0的基础解系.
D、如果(A)=n一3，并且AX=0每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．
答案D
解析 (A)缺少n—r(A)=3的条件．
(B)缺少η1，η2，η3线性无关的条件．
(C)例如η1，η2是基础解系η1+η2=η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系．
要说明(D)的正确，就要证明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关．方法如下：
设α1，α2，α3是AX=0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是
3≥r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)=3，
则  r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，
于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX=0的解．
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