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下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。 等比数列的前n项和 国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个
下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。 等比数列的前n项和 国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个
admin
2019-06-10
38
问题
下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。
等比数列的前n项和
国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了,假定千粒麦子的质量为40g,据查,目前世界年度小麦产量约6亿t,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言。
让我们一起来分析一下,如果把各格所放的麦粒数看成一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
一般地,对于等比数列
a
1
,a
2
,a
3
…,a
n
,…,
它的前n项和是
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,
根据等比数列的通项公式,上式可写成
S
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-1
。 ①
我们发现,如果用公比q乘①的两边,可得
qS
n
=a
1
q+a
1
q
2
+…+a
1
q
n-1
+a
1
q
n
, ②
①②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,得
(1-q)S
n
=a
1
-a
1
q
n
。
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
S
n
=
(q≠1)
因为a
n
=a
1
q
n-1
,所以上面的公式还可以写成
S
n
=
(q≠1)
有了上述公式,就可以解决本节开头提出的问题,由a
1
=1,q=2,n=64,可得
S
64
=
=2
64
-1
2
64
-1这个数很大,超过了1.84×10
19
,估计千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨,因此,国王不能实现他的诺言。
问题:
请为教材中第一个思考“当q=1时,等比数列的前n项和S
n
等于多少?”设计一个教学片段。
选项
答案
教学片段 师:从上边的推导我们知道,当公比q≠1时,等比数列前n项和S
n
=[*],那么大家想过没有,这里为什么要求q≠1呢? 生:q=1时,公式里的分母等于零了,没有意义了。 师:没错,只有在q≠1时上述公式才成立。那么如果一个等比数列,公比q=1,那它的前n项和怎么求呢? 生:如果公比q=1,则这个等比数列就是常数列,每一项都相等…… 师:所以,当a=1时,前n项和等于…… 生:na
1
。 师:很好。所以大家在理解和记忆等比数列前n项和的时候,就要明确它是由两部分组成的,一部分是…… 生:q≠1时。 师:另一部分是…… 生:q=1时。 师:很好。大家在以后做题时遇到等比数列求和问题就要想想,公比q的取值。
解析
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数学学科知识与教学能力
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