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已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是
admin
2014-02-06
56
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是3维非零向量，则下列命题中错误的是
选项
A、如果α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出，则α
1
,α
2
,α
3
线性相关．
B、如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关，那么α
1
,α
2
,α
3
,α
4
也线性相关．
C、如果α
3
不能由α
1
,α
2
线性表出，α
4
不能由α
2
,α
3
线性表出，则α
1
可以由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出．
D、如果秩r(α
1
，α
1
+α
2
，α
2
+α
3
)=r(α
4
,，α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
,)，则α
4
可以由α
1
，α
2
，α
3
线性表出．
答案
B
解析
例如α
1
=(1，0，0)
T
，α
2
=(0，1，0)
T
，α
3
=(0，2，0)
T
，α
4
=(0，0，1)
T
，可知B不正确，应选B．关于A：如果α
1
,α
2
,α
3
线性无关，义因α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是4个3维向量，它们必线性相关，而知α
4
必可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出天于C：由已知条件，有(I)r(α
1
，α
2
)≠r(α
1
，α
2
，α
3
)，(Ⅱ)r(α
2
，α
3
)≠r(α
2
，α
3
，α
4
)．持r(α
2
，α
3
)=1，则必有r(α
1
，α
2
)=r(α
1
，α
2
，α
3
)，与条件(I)矛盾．故必有r(α
2
，α
3
)=2．那么由(Ⅱ)知r(α
2
,α
3
,α
4
)=3，从而r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3．因此α
1
可以由α
2
,α
3
,α
4
线性表出．关于D：经初等变换有(α
1
，α
1
,α
2
，α
2
+α
3
)→(α
1
,α
2
，α
2
+α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
)，(α
4
，α
1
+α
4
，α
2
+α
4
，α
3
+α
4
)→(α
4
,α
1
,α
2
,α
3
)→(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)，从而r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)．因而α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出．
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