从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样?

admin2021-02-25  39

问题 从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问A,B的秩的关系怎样?

选项

答案因为矩阵B是由矩阵A划去一行得到的,所以B中任一非零子式也必是A中的非零子式,因此,R(B)≤R(A). 设从A中划去第i行得到B,且设R(A)=r. (1)若A的某个r阶非零子式D不含A的第i行的元素,则D也是B的一个r阶非零子式,则R(B)≥r,又R(B)≤R(A)=r,故R(B)=R (2)若r阶非零子式D中含有A的第i行的元素,则在D中至少有一个r一1阶子式非零(否则由行列式按A中第r行所在的行展开便得D=0,矛盾),此非零的r一1阶子式即为B的一个 r一1阶非零子式,故R(B)≥r一1,即R(A)一1≤R(B)≤R(A). 综合(1)(2)有R(A)一1≤R(B)≤R(A).

解析
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