从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A，B的秩的关系怎样?

admin2021-02-25 65

问题从矩阵A中划去一行得到矩阵B，问A，B的秩的关系怎样?

选项

答案因为矩阵B是由矩阵A划去一行得到的，所以B中任一非零子式也必是A中的非零子式，因此，R(B)≤R(A)．设从A中划去第i行得到B，且设R(A)=r． (1)若A的某个r阶非零子式D不含A的第i行的元素，则D也是B的一个r阶非零子式，则R(B)≥r，又R(B)≤R(A)=r，故R(B)=R (2)若r阶非零子式D中含有A的第i行的元素，则在D中至少有一个r一1阶子式非零(否则由行列式按A中第r行所在的行展开便得D=0，矛盾)，此非零的r一1阶子式即为B的一个 r一1阶非零子式，故R(B)≥r一1，即R(A)一1≤R(B)≤R(A)．综合(1)(2)有R(A)一1≤R(B)≤R(A)．

解析

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