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  3. 设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。

设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。

admin2018-01-12  30
问题 设随机变量X与Y相互独立，且都服从[0，1]上的均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；
(Ⅱ)V=|X—Y|的概率密度fV(υ)。
选项
答案根据X与Y相互独立且密度函数已知，因此可以用两种方法：分布函数法和公式法求出U、V的概率密度。 (Ⅰ)分布函数法。根据题设知(X，Y)联合概率密度 f(x，y)=fX(x)fY(y)=[*] 所以U=XY的分布函数为(如图3—3—9所示) FU(u)=P{XY≤u}=[*] [*] (1)当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1； (2)当0＜u＜1时， FU(u)=∫0udx∫01dy+∫u1dx[*]dy=u+∫u1[*]dx=u—ulnu。 综上得 [*] (Ⅱ)公式法。设Z=X—Y=X+(一Y)。其中X与(一Y)独立，概率密度分别为 [*] 根据卷积公式得Z的概率密度 fZ(z)=∫—∞+∞fX(z—y)f—Y(y)dy=∫—10fX(z—y)dy [*] V=|X—Y|=|Z|的分布函数为FV(υ)=P{|Z|≤υ}，可得 当υ≤0时，FV(υ)=0；当υ＞0时，FV(υ)=P{一υ≤Z≤υ}=∫—υufZ(z)dz。 由此知，当0＜υ＜1时， FV(υ)=∫—υ0(z+1)dz+∫0ufZ(1一z)dz=2υ一υ2； 当υ≥1时， FV(υ)=∫—υ—1fZ0dz+∫—10fZ(z+1)dz+∫01(1一z)dz+∫100dz=l FV(υ)=∫—υ—10dz+∫—10(z+1)dz+∫01(一z)dz+∫1υ0dz=1。 综上可得 [*]
解析
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考研数学三

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