一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2013-09-15 97

问题一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中以时间t作为自变量来建立微分方程，但依未知函数的不同选择而有以下两种方法： (1)以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积V=(2/3)πr³，侧面积S=2πr²，由题设知 [*] 化简上式即可得到以r为未知函数的微分方程，dr/dt=-k，解之得r=-kt+C，由初始条件r｜_t=0=r₀，可得出C=r₀，所以r=r₀-kt又由已知[*] 从而[*] 雪堆全部融化时r=0，从而[*]得t=6，即全部融化需6小时． (2)以雪堆体积V为未知函数，在时刻t，[*]，侧面积s=2πr²，即[*] 由题设，[*] 此即以V为未知函数的微分方程，分离变量得[*] 两边积分得[*] 由已知，当t=0时，[*] 代入上式分别得到[*] 联立此二式可解出[*] 令V=0，则t=6，即雪堆全部融化需6小时．

解析

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考研数学二

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一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3个小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?

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