2. 考研
  3. 设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1＝a3，a2＝a4＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．

设线性方程组为 (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响． (2)设a1＝a3，a2＝a4＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．

admin2018-11-23  75
问题 设线性方程组为
    (1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响．
    (2)设a1＝a3，a2＝a4＝－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．
选项
答案(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，其值等于 [*]＝(a2－a1)(a3－a1)(a4－a1)(a3－a2)(a4－a2)(a4－a3)． 于是，当a1，a2，a3，a4两两不同时，增广矩阵的行列式不为0，秩为4，而系数矩阵的秩为3．因此，方程组无解． 如果a1，a2，a3，a4不是两两不同，则相同参数对应一样的方程．于是只要看有几个不同，就只留下几个方程． ①如果有3个不同，不妨设a1，a2，a3两两不同，a4等于其中之一，则可去掉第4个方程，得原方程组的同解方程组 [*] 它的系数矩阵是范德蒙行列式，值等于(a2－a1)(a3－a1)(a3－a2)≠0，因此方程组唯一解． ②如果不同的少于3个，则只用留下2个或1个方程，此时方程组无穷多解． (2)此时第3．4两个方程分别就是第1，2方程，可抛弃，得 [*] (－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，它们的差(－2，0，2)T是导出组的一个非零解． 本题未知数个数为3，而系数矩阵[*]的秩为2(注意k≠0)． 于是(－2，0，2)T构成导出组的基础解系，通解为： (－1，1．1)T＋c(－2．0．2)T，c可取任意常数．
解析
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考研数学一

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