设线性方程组为 (1)讨论a1,a2,a3,a4取值对解的情况的影响. (2)设a1=a3,a2=a4=-k(k≠0),并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程组的通解.

admin2018-11-23  45

问题 设线性方程组为
    (1)讨论a1,a2,a3,a4取值对解的情况的影响.
    (2)设a1=a3,a2=a4=-k(k≠0),并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程组的通解.

选项

答案(1)增广矩阵的行列式是一个范德蒙行列式,其值等于 [*]=(a2-a1)(a3-a1)(a4-a1)(a3-a2)(a4-a2)(a4-a3). 于是,当a1,a2,a3,a4两两不同时,增广矩阵的行列式不为0,秩为4,而系数矩阵的秩为3.因此,方程组无解. 如果a1,a2,a3,a4不是两两不同,则相同参数对应一样的方程.于是只要看有几个不同,就只留下几个方程. ①如果有3个不同,不妨设a1,a2,a3两两不同,a4等于其中之一,则可去掉第4个方程,得原方程组的同解方程组 [*] 它的系数矩阵是范德蒙行列式,值等于(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)≠0,因此方程组唯一解. ②如果不同的少于3个,则只用留下2个或1个方程,此时方程组无穷多解. (2)此时第3.4两个方程分别就是第1,2方程,可抛弃,得 [*] (-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,它们的差(-2,0,2)T是导出组的一个非零解. 本题未知数个数为3,而系数矩阵[*]的秩为2(注意k≠0). 于是(-2,0,2)T构成导出组的基础解系,通解为: (-1,1.1)T+c(-2.0.2)T,c可取任意常数.

解析
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