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设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。 (Ⅰ)证明A是实对称矩阵； (Ⅱ)证明A是负惯性指数为0； (Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。
设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。 (Ⅰ)证明A是实对称矩阵； (Ⅱ)证明A是负惯性指数为0； (Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。
admin
2019-07-23
61
问题
设α
1
，α
2
，…，α
s
都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α
1
α
1
T
+α
2
α
2
T
+…+α
s
α
s
T
。
(Ⅰ)证明A是实对称矩阵；
(Ⅱ)证明A是负惯性指数为0；
(Ⅲ)设r(α
1
，α
2
，…，α
s
)=k，求二次型X
T
AX的规范性。
选项
答案
(Ⅰ)记C=(α
1
，α
2
，…，α
s
)，这是一个n×s实矩阵，则根据矩阵乘法的分块法则，A=CC
T
，于是A
T
= (CC
T
)
T
=CC
T
=A。 即A是对称矩阵。 (Ⅱ)A的负惯性指数为0也就是A的特征值都不是负数。设λ是A的一个特征值，η是属于λ的一个特征向量，即Aη=λη,则η
T
Aη=λη
T
η，→η
T
CC
T
η=λη
T
η，即(C
T
η，C
T
η)=λ(η
T
，η)则λ=(C
T
η，C
T
η)/(η
T
，η)≥0。 (Ⅲ)A的正、负惯性指数之和等于A的秩，因为A的负惯性指数为0，正惯性指数就为A的秩，由于C是实矩阵r(A)=r(C)=r(α
1
，α
2
，…，α
s
)=k，于是为A的正惯性指数为k，二次型X
T
AX的规范形为y
2
1
+y
2
2
+…+y
2
k
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GAJ4777K
0
考研数学三
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