2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。 (Ⅰ)证明A是实对称矩阵； (Ⅱ)证明A是负惯性指数为0； (Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。

设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。 (Ⅰ)证明A是实对称矩阵； (Ⅱ)证明A是负惯性指数为0； (Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。

admin2019-07-23  91
问题 设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。
(Ⅰ)证明A是实对称矩阵；
(Ⅱ)证明A是负惯性指数为0；
(Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。
选项
答案(Ⅰ)记C=(α1，α2，…，αs)，这是一个n×s实矩阵，则根据矩阵乘法的分块法则，A=CCT，于是AT= (CCT)T=CCT=A。 即A是对称矩阵。 (Ⅱ)A的负惯性指数为0也就是A的特征值都不是负数。设λ是A的一个特征值，η是属于λ的一个特征向量，即Aη=λη,则ηTAη=ληTη，→ηTCCTη=ληTη，即(CTη，CTη)=λ(ηT，η)则λ=(CTη，CTη)/(ηT，η)≥0。 (Ⅲ)A的正、负惯性指数之和等于A的秩，因为A的负惯性指数为0，正惯性指数就为A的秩，由于C是实矩阵r(A)=r(C)=r(α1，α2，…，αs)=k，于是为A的正惯性指数为k，二次型XTAX的规范形为y21+y22+…+y2k。
解析
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考研数学三

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