设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。 (Ⅰ)证明A是实对称矩阵； (Ⅱ)证明A是负惯性指数为0； (Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。

admin2019-07-23 41

问题设α₁，α₂，…，α_s都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α₁α₁^T+α₂α₂^T+…+α_sα_s^T。
(Ⅰ)证明A是实对称矩阵；
(Ⅱ)证明A是负惯性指数为0；
(Ⅲ)设r(α₁，α₂，…，α_s)=k，求二次型X^TAX的规范性。

选项

答案(Ⅰ)记C=(α₁，α₂，…，α_s)，这是一个n×s实矩阵，则根据矩阵乘法的分块法则，A=CC^T，于是A^T= (CC^T)^T=CC^T=A。即A是对称矩阵。 (Ⅱ)A的负惯性指数为0也就是A的特征值都不是负数。设λ是A的一个特征值，η是属于λ的一个特征向量，即Aη=λη,则η^TAη=λη^Tη，→η^TCC^Tη=λη^Tη，即(C^Tη，C^Tη)=λ(η^T，η)则λ=(C^Tη，C^Tη)/(η^T，η)≥0。 (Ⅲ)A的正、负惯性指数之和等于A的秩，因为A的负惯性指数为0，正惯性指数就为A的秩，由于C是实矩阵r(A)=r(C)=r(α₁，α₂，…，α_s)=k，于是为A的正惯性指数为k，二次型X^TAX的规范形为y²₁+y²₂+…+y²_k。

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αs都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=α1α1T+α2α2T+…+αsαsT。 (Ⅰ)证明A是实对称矩阵； (Ⅱ)证明A是负惯性指数为0； (Ⅲ)设r(α1，α2，…，αs)=k，求二次型XTAX的规范性。

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