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n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
admin
2020-03-02
40
问题
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
选项
A、充分必要条件
B、充分而非必要条件
C、必要而非充分条件
D、既非充分也非必要条件
答案
A
解析
若A~A=
,则有可逆矩阵P使P
-1
AP=∧,或AP=P∧.令P=(γ
1
,γ
2
,…,γ
n
),即
A(γ
1
,γ
2
,…,γ
n
)=(γ
1
,γ
2
,…,γ
n
)
=(a
1
γ
1
,a
2
γ
2
,…,a
n
γ
n
)
从而有
Aγ
i
=a
i
γ
i
,i=1,2,…,n.
由P可逆,即有γ
i
≠0,且γ
1
,γ
2
,…,γ
n
线性无关.根据定义可知γ
1
,γ
2
,…,γ
n
是A的n个线性无关的特征向量.
反之,若A有n个线性无关的特征向量α
1
,α
2
,…,α
n
,且满足
Aα
i
=λ
i
α
i
,i=1,2,…,n.
那么,用分块矩阵有
A(α
1
,α
2
,…,α
n
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
)
由于矩阵P=(α
1
,α
2
,…,α
n
)可逆,所以P
-1
AP=∧,即A与对角矩阵∧相似.所以应选A.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GAS4777K
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