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  3. n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

admin2020-03-02  49
问题 n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的(    )
选项 A、充分必要条件
B、充分而非必要条件
C、必要而非充分条件
D、既非充分也非必要条件
答案A
解析 若A～A＝，则有可逆矩阵P使P-1AP＝∧，或AP＝P∧．令P＝(γ1，γ2，…，γn)，即
    A(γ1，γ2，…，γn)＝(γ1，γ2，…，γn)＝(a1γ1，a2γ2，…，anγn)
    从而有
    Aγi＝aiγi，i＝1，2，…，n．
    由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．
    反之，若A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，且满足
    Aαi＝λiαi，i＝1，2，…，n．
    那么，用分块矩阵有
    A(α1，α2，…，αn)＝(α1，α2，…，αn)
    由于矩阵P＝(α1，α2，…，αn)可逆，所以P-1AP＝∧，即A与对角矩阵∧相似．所以应选A．
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考研数学一

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