2. 考研
  3. (01年)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证： (1)对于(一1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立； (2)

(01年)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证： (1)对于(一1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立； (2)

admin2021-01-15  24
问题 (01年)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f"(x)≠0，试证：
(1)对于(一1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；
(2)
选项
答案(1)任给非零x∈(一1，1)，由拉格朗日中值定理得 f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x) (0＜θ(x)＜1) 因为f"(x)在(一1，1)内连续且f"(x)≠0，所以f"(x)在(一1，1)内不变号，不妨设f"(x)＞0，则f’(x)在(一1，1)内严格单增，故θ(x)唯一． (2)由泰勒公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]f"(ξ)x2，ξ在0与x之间 所以 xf’(θ(x)x)=f(x)一f(0)=f’(0)x+[*] [*]
解析
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考研数学一

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