设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am－1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα1，…，Am－1α线性无关．

admin2019-12-26 106

问题设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得A^m－1α≠0，A^mα=0(规定A⁰为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα₁，…，A^m－1α线性无关．

选项

答案【证法1】设有一组数k₀，k₁，…，k_m－1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m－1α=0， (1) 用A_m－1左乘(1)式两边，得 k₀A^m－1α=0，又A_m－1α≠0，故k₀=0．从而(1)式变为 k₁Aα+…+k_m－1A^m－1α=0， (2) 再用A^m－2左乘(2)式两边得k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₁=0．以此类推，可得k₀=0，k₁=0，…，k_m－1=0，从而α，Aα，…，A^m－1α线性无关．【证法2】反证法，设α，Aα，…，A^m-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k₀，k₁，k_m-1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0，设从左起第一个不为零的数为k_i，上式变为 k_iAⁱα+k_i+1Aⁱ⁺¹α+…+k_m-1A^m-1α=0．由于A_mα=0，用A^m－i－1左乘等式两边得k_iA^m－1α=0．由于k_i≠0，则A^m－1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，A^m－1α线性无关．

解析

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考研数学三

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设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am－1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα1，…，Am－1α线性无关．

考研数学三

设A为n阶正交矩阵，α和β都是n维实向量，证明：(I)内积(α，β)=(Aα，Aβ))．(2)长度‖α‖=‖Aα‖．

设X1，X2，…，X100是独立同服从参数为4的泊松分布的随机变量，是其算术平均值，则P{≤4．392}≈_____．

将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于______。

设电子管寿命X的概率密度为若一台收音机上装有三个这种电子管，求：Y的分布函数．

行列式的第4行各元素的余子式之和的值为_______．

设函数f（x）=则f’（x）=________。

设曲线y=ax2+bx+c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，并与x轴所围成的图形的面积为，试确定a、b、c的值。使该图形绕x轴旋转一周所得的立体体积最小．

设z＝f(x，y)二阶可偏导，＝2，且f(x，0)＝1，f’y(x，0)＝x，则f(x，y)＝______．

随机向区域D：0＜y＜(a＞0)内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与x轴的夹角小于的概率为______．

当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=________.

小儿头围与胸围两者几乎相等的年龄是

吗啡的外周作用是

慢性肾盂肾炎早期肾功能减退的主要指标是

不能异生为糖的是A．甘油B．乳酸C．脂肪酸D．氨基酸E．丙酮酸

根据《联合同国际货物销售合同公约》，下列表述正确的是(　　)。

根据《政府采购法》的规定，下列各项中，属于政府采购方式的有()。

企业在资产负债表日，应当按照规定对外币非货币性项目进行处理，采用资产负债表日即期汇率折算。因资产负债表日即期汇率与初始确认时或者前一资产负债表日即期汇率不同而产生的汇兑差额，计入当期损益。()

下列费用中，应当作为管理费用核算的有(　　)。

Judgingfromrecentsurveys,mostexpertsinsleepbehavioragreethatthereisvirtuallyanepidemicofsleepinessinthenatio

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