设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am－1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα1，…，Am－1α线性无关．

admin2019-12-26 102

问题设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得A^m－1α≠0，A^mα=0(规定A⁰为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα₁，…，A^m－1α线性无关．

选项

答案【证法1】设有一组数k₀，k₁，…，k_m－1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m－1α=0， (1) 用A_m－1左乘(1)式两边，得 k₀A^m－1α=0，又A_m－1α≠0，故k₀=0．从而(1)式变为 k₁Aα+…+k_m－1A^m－1α=0， (2) 再用A^m－2左乘(2)式两边得k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₁=0．以此类推，可得k₀=0，k₁=0，…，k_m－1=0，从而α，Aα，…，A^m－1α线性无关．【证法2】反证法，设α，Aα，…，A^m-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k₀，k₁，k_m-1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0，设从左起第一个不为零的数为k_i，上式变为 k_iAⁱα+k_i+1Aⁱ⁺¹α+…+k_m-1A^m-1α=0．由于A_mα=0，用A^m－i－1左乘等式两边得k_iA^m－1α=0．由于k_i≠0，则A^m－1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，A^m－1α线性无关．

解析

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考研数学三

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设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am－1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα1，…，Am－1α线性无关．

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