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  3. 证明： （Ⅰ）对任意正整数n，都有 成立； （Ⅱ）设an=1+—lnn（n=1，2，…），证明{an}收敛。

证明： （Ⅰ）对任意正整数n，都有 成立； （Ⅱ）设an=1+—lnn（n=1，2，…），证明{an}收敛。

admin2017-01-21  77
问题 证明：
（Ⅰ）对任意正整数n，都有 成立；
（Ⅱ）设an=1+—lnn（n=1，2，…），证明{an}收敛。
选项
答案（Ⅰ）令[*]=x，则原不等式可化为 [*]＜ln（1+x）＜ x，x ＞ 0。 先证明ln（1+x）＜x，x＞0。 令f（x）=x—ln（1+x）。由于 f’（x）=1—[*]＞0，x＞0， 可知f（x）在[0，+∞）上单调递增。 又由于f（0）=0，因此当x＞0时，f（x）＞f（0）=0。也即 In（1+x）＜x，x＞0。 [*] 可知g（x）在[0，+∞）上单调递增。 又因g（0）=0，因此当x＞0时，g（x）＞g（0）=0。即 [*] 再代入[*]=x，即可得到所需证明的不等式。 （Ⅱ）an+1—an=[*] 可知数列{an}单调递减。 又由不等式 [*] 因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。
解析
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考研数学三

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