设g(x)在[a,b]连续,f(x)在[a,b]二阶可导,f(a)=f(b)=0,且对x(a≤x≤b)满足f″(x)+g(x)f′(x)-f(x)=0.求证:f(x)=0 (x∈[a,b]).

admin2016-10-26  43

问题 设g(x)在[a,b]连续,f(x)在[a,b]二阶可导,f(a)=f(b)=0,且对x(a≤x≤b)满足f″(x)+g(x)f′(x)-f(x)=0.求证:f(x)=0  (x∈[a,b]).

选项

答案若f(x)在[a,b]上不恒为零,则f(x)在[a,b]取正的最大值或负的最小值. 不妨设f(x0)=[*]f(x)>0,则x0∈(a,b)且f′(x0)=0,f″(x0)≤0[*]f″(x0)+g(x0) f′(x0)-f(x0)<与已知条件矛盾.同理,若f(x1)=[*]f(x)<0,同样得矛盾.因此f(x)≡0([*]x∈[a,b]).

解析
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