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已知A,B均是3阶非零矩阵,且A2=A,B2=B,AB=BA=0,证明0和1必是A与B的特征值,并且若α是A关于λ=1的特征向量,则α必是B关于λ=0的特征向量.
已知A,B均是3阶非零矩阵,且A2=A,B2=B,AB=BA=0,证明0和1必是A与B的特征值,并且若α是A关于λ=1的特征向量,则α必是B关于λ=0的特征向量.
admin
2016-10-20
56
问题
已知A,B均是3阶非零矩阵,且A
2
=A,B
2
=B,AB=BA=0,证明0和1必是A与B的特征值,并且若α是A关于λ=1的特征向量,则α必是B关于λ=0的特征向量.
选项
答案
由于A
2
=A,则A的特征值只能是0或1,又因(A-E)A=0,A≠0,知齐次方程组(A-E)x=0有非零解,故|A-E|=0,即λ=1必是A的特征值.据AB=0,B≠0,得Ax=0有非零解,那么|0E-A|=|A|=0,故0必是A的特征值. 由于已知条件的对称性,0与1必是B的特征值.对于Aα=α,同时左乘矩阵B,得 Bα=B(Aα)=(BA)α=0α=0=0α, 所以α是矩阵B关于λ=0的特征向量.
解析
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考研数学三
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