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[2008年] 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.
[2008年] 求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值.
admin
2019-04-05
70
问题
[2008年] 求函数u=x
2
+y
2
+z
2
在约束条件z=x
2
+y
2
和x+y+z=4下的最大值与最小值.
选项
答案
本题是一道条件极值的常规题,这里约束条件有两个,可构造双参数的拉 格朗日函数,也可构造单参数的拉格朗日函数求解. 解一 由约束条件z=x
2
+y
2
,x+y+z=4构造双参数的拉格朗日函数,即 F(x,y,z,λ,μ)=x
2
+y
2
+z
2
+λ(x
2
+y
2
一z)+μ(x+y+z一4). 于是[*] 由式①、式②解得x=y(但λ=一1,μ=0不是解).由式④、式⑤得到 z=x
2
+y
2
=2x
2
, z=4—2x, 则2x
2
=4—2x,即x
2
+x一2=0,亦即(x+2)(x一1)=0,故x
1
=一2,x
2
=1,因而z
1
=8, z
2
=2. 将(x
1
,y
1
,z
1
)=(一2,一2,8),(x 2,y 2,z 2)=(1,1,2)代入函数U中,得到u(x
1
,y
1
,z
1
)=72, u(x
,y
2
,z
2
)=6,故所求的最大值为72,最小值为6. 解二 由约束条件z=x
2
+y
2
和x+y+z=4得到x
2
+y
2
=4一x—y,构造单参数的拉格朗日函数,即 F(x,y,λ)=x
2
+y
2
+(x
2
+y
2
)
2
+λ(x
2
+y
2
+x+y一4), 于是 [*] 解得(x
1
,y
1
)=(一2,一2),(x
2
,y
2
)=(1,1),则z
1
=8,z
2
=2,所求最大值为72,最小值为6.
解析
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