求函数，f(x)＝x2ln(1＋x)在x＝0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．

admin2014-01-26 63

问题求函数，f(x)＝x²ln(1＋x)在x＝0处的n阶导数f⁽ⁿ⁾(0)(n≥3)．

选项

答案[详解1] 由麦克劳林公式(x＝0处的泰勒展开式) [*]，及[*] 比较xⁿ的系数得[*]。 [详解2] 由莱布尼兹公式 (uv)⁽ⁿ⁾＝u⁽ⁿ⁾v⁽⁰⁾＋C_n¹u^(n－2)v"＋…u⁽⁰⁾v⁽ⁿ⁾， [*]

解析 [分析] 求f(x)在点x＝x₀处的n阶导数，通常可考虑将此函数在点x＝x₀处按一般公式展开为泰勒级数，和函数表达式中根据已知函数的泰勒展开所得级数进行比较，求得该点处的n阶导数．但考虑到本题f(x)是由两项乘积所构成，且其中一个因子为x²，其三阶以上的导数均为零，因此也可通过莱布尼兹公式进行计算．
[评注] 本题若试图通过求f(x)的一阶、二阶、三阶甚至更高阶导数后，冉找出一般性的规律是很困难的，从本题的求解可看出，常见函数如e^x，sinx，cosx，tanx，cotx，ln(1＋x)以及(1＋x)^a等的级数展开式廊当熟练掌掘．

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考研数学二

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(2010年)(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt与∫01tn|lnt|dt(n=1，2，…)的大小，说明理由；(Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限

(08年)设X1，X2，…，Xn是总体N(μ，σ2)的简单随机样本，记(Ⅰ)证明T是μ2的无偏估计量；(Ⅱ)当μ＝0，σ＝1时，求DT．

(05年)设二元函数z＝χeχ＋y＋(χ＋1)ln(1＋y)，则dz｜(1，0)＝_______．

(92年)设函数问函数f(χ)在χ＝1处是否连续?若不连续，修改函数在χ＝1处的定义使之连续．

[2008年]设n元线性方程组AX=b，其中证明行列式|A|=(n+1)an；

[2016年]极限

[2004年]函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则

计算二重积分｜x2+y2-1｜dσ，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，(0≤y≤1}。

计算e2x(tanx+1)2dx．

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与肝素抗凝作用有关的酶()

用同浓度的NaOH溶液分别滴定HNO3和H2SO4，消耗NaOH体积数相同，说明()。

警察是具有武装性质的维护社会秩序，保卫国家安全的(　　)。

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甲经贸公司租赁乙大型商场柜台代销丙厂名牌羽绒衣。下列行为违反了《中华人民共和国反不正当竞争法》规定的是()。

Nowtherearesophisticatedtestswhichcan_____poisonsinthetiniestamountnotevenenoughtokillamouse.

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