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求函数,f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3).
求函数,f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3).
admin
2014-01-26
37
问题
求函数,f(x)=x
2
ln(1+x)在x=0处的n阶导数f
(n)
(0)(n≥3).
选项
答案
[详解1] 由麦克劳林公式(x=0处的泰勒展开式) [*], 及[*] 比较x
n
的系数得[*]。 [详解2] 由莱布尼兹公式 (uv)
(n)
=u
(n)
v
(0)
+C
n
1
u
(n-2)
v"+…u
(0)
v
(n)
, [*]
解析
[分析] 求f(x)在点x=x
0
处的n阶导数,通常可考虑将此函数在点x=x
0
处按一般公式展开为泰勒级数,和函数表达式中根据已知函数的泰勒展开所得级数进行比较,求得该点处的n阶导数.但考虑到本题f(x)是由两项乘积所构成,且其中一个因子为x
2
,其三阶以上的导数均为零,因此也可通过莱布尼兹公式进行计算.
[评注] 本题若试图通过求f(x)的一阶、二阶、三阶甚至更高阶导数后,冉找出一般性的规律是很困难的,从本题的求解可看出,常见函数如e
x
,sinx,cosx,tanx,cotx,ln(1+x)以及(1+x)
a
等的级数展开式廊当熟练掌掘.
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0
考研数学二
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