求函数，f(x)＝x2ln(1＋x)在x＝0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)．

admin2014-01-26 33

问题求函数，f(x)＝x²ln(1＋x)在x＝0处的n阶导数f⁽ⁿ⁾(0)(n≥3)．

选项

答案[详解1] 由麦克劳林公式(x＝0处的泰勒展开式) [*]，及[*] 比较xⁿ的系数得[*]。 [详解2] 由莱布尼兹公式 (uv)⁽ⁿ⁾＝u⁽ⁿ⁾v⁽⁰⁾＋C_n¹u^(n－2)v"＋…u⁽⁰⁾v⁽ⁿ⁾， [*]

解析 [分析] 求f(x)在点x＝x₀处的n阶导数，通常可考虑将此函数在点x＝x₀处按一般公式展开为泰勒级数，和函数表达式中根据已知函数的泰勒展开所得级数进行比较，求得该点处的n阶导数．但考虑到本题f(x)是由两项乘积所构成，且其中一个因子为x²，其三阶以上的导数均为零，因此也可通过莱布尼兹公式进行计算．
[评注] 本题若试图通过求f(x)的一阶、二阶、三阶甚至更高阶导数后，冉找出一般性的规律是很困难的，从本题的求解可看出，常见函数如e^x，sinx，cosx，tanx，cotx，ln(1＋x)以及(1＋x)^a等的级数展开式廊当熟练掌掘．

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考研数学二

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