[2008年] 设n元线性方程组AX=b,其中 证明行列式|A|=(n+1)an;

admin2021-01-25  41

问题 [2008年]  设n元线性方程组AX=b,其中
           
证明行列式|A|=(n+1)an

选项

答案证一 利用三对称行列式的结论证之.由命题2.1.1.2知 [*] 故|A|=|A|T=(n+1)an. 证二 用数学归纳法证之. 当n=1时,|A|=|2a|=2a=(1+1)a1=2a,结论成立. 当n=2时,[*]结论也成立. 假设结论对n一2,n一1阶行列式成立,则|A|n-2=(n一1)an-2,|A|n-1=nan-1.将|A|按第1行展开得到 |A|n=2a|A|n-1—a2|A|n-2=2—2a·nan-1一a2·(n一1)an-2=(n+1)an, 即结论对n阶行列式仍成立.由数学归纳法原理知,对任何正整数n,都有|A|=(n+1)an. 证三 为方便计,令Dn=|A|.将其按第1列展开得到Dn=2aDn-1一a2Dn-2, 即 Dn一aDn-1=aDn-1一a2Dn-2=a(Dn-1—aDn-2)=a·a(Dn-2一aDn-3) =a2(Dn-2一aDn-3)=…=an-2(D2一aD1)=an, 故 Dn=an+aDn-1=an+a(an-1+aDn-2)=2an+a2Dn-2=… =(n一2)an+an-2D2=(n—2)an+an-2(a2+aD1) =(n一1)an+an-1D1=(n一1)an+an-1·2a=(n+1)an. 证四 利用行列式性质化成三角行列式求之. [*] (注:命题2.1.1.2 设n阶三对称行列式[*]则 [*])

解析
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