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  3. 已知区域D由曲线y=ex过原点的切线、曲线y=ex及y=1所围成，求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积．

已知区域D由曲线y=ex过原点的切线、曲线y=ex及y=1所围成，求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积．

admin2022-12-09  21
问题 已知区域D由曲线y=ex过原点的切线、曲线y=ex及y=1所围成，求区域D绕x=e旋转而成的旋转体的体积．
选项
答案设切点为P(a，ea)， 由ea=ea/a得a=1，故所求的切线为y=ex； 取[y，y+dy][*][1，e]， dV=[π(e-x1)2-π(e-x2)2]dy， 由x1=㏑y，x2=y/e得 dV=π[(e-㏑y)2-(e-y/e)2]dy=π(-2e㏑y+㏑2y+2y-y2/e2)dy， 故所求的体积为 V=π∫1e(-2e㏑y+㏑2y+2y-y2/e2)dy =π(-2e∫1e㏑ydy+∫1e㏑2ydy+∫1e2ydy-1/e2∫1ey2dy) 由∫1e㏑ydy=y㏑y|1e-(e-1)=1，∫1e㏑ydy=y㏑2y|1e-2∫1e㏑ydy=e-2得 V=π[-2e+e-2+e2-1-1/3e2(e3-1)]=π(-4e/3-3+e2+1/3e2)．
解析
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考研数学三

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