在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2021-09-16 25

问题在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案设所求曲线为y＝y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 [*] 令Y＝0，得X＝x＋yy’，该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*]，即yy”＝1＋[*]．令y’＝p，则y”＝p(dp／dy)，则有yp(dp／dy)＝1＋p²，或者[*] 两边积分得y＝C₁[*]，由y(1)＝1，y’(1)＝0得C₁＝1，所以y’＝±[*]，变量分离得[*]，两边积分得ln(y＋[*])＝±x＋C₂，由y(1)＝1得C₂＝[*]，所以ln(y＋[*])＝±x[*]，即y＋[*]＝[*]， [*] 两式相加得y＝[*]＝ch(x－1)．

解析

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考研数学一

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在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

考研数学一

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