2. 考研
  3. 已知矩阵A=。 (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。

已知矩阵A=。 (Ⅰ)求A99； (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。

admin2021-01-25  65
问题 已知矩阵A=。
    (Ⅰ)求A99；
    (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合。
选项
答案(Ⅰ)矩阵A的特征多项式为 ｜λE一A｜=[*]=λ(λ+1)(λ+2)， 则A的特征值为λ1=一1，λ2=一2，λ3=0。 解线性方程组(λiE—A)x=0(i=1，2，3)可得特征值λ1=一1，λ2=一2，λ3=0对应的特征向量分别为 α1=(1，1，0)T，α2=(1，2，0)T，α3=(3，2，2)T。 令P=(α1，α2，α3)，则P-1AP=[*]，所以 [*] (Ⅱ)由B2=BA→B3=BBA=B2A=BA2→…→B100=BA99，即 (β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)[*]， 则 β1=(299一2)α1+(2100一2)α2， β2=(1—299)α1+(1—2100)α2， β3=(2—299)α1+(2—299)α2。
解析
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考研数学三

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