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[2016年] 设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是( ).
[2016年] 设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是( ).
admin
2019-04-15
90
问题
[2016年] 设A,B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是( ).
选项
A、A
T
与B
T
相似
B、A
-1
与B
-1
相似
C、A+A
T
与B+B
T
相似
D、A+A
-1
与B+B
-1
相似
答案
C
解析
因A~B,故存在可逆矩阵P使得B=P
-1
AP. ①
在式①两边取转置,得到B
T
=(P
-1
AP)
T
=P
T
A
T
(P
-1
)
T
=[(PT)
-1
]
-1
A
T
[(P
T
)
-1
]
故A
T
与B
T
相似.选项(A)正确.
在式①两边求逆运算得到B
-1
=(P
-1
AP)
-1
=P
-1
A
-1
(P
-1
)
-1
=P
-1
A
-1
P. ②
故A与A
-1
相似.选项(B)正确.
由式①+式②得到B+B
-1
=P
-1
AP+P
-1
A
-1
P=P
-1
(A+A
-1
)P,故A+A
-1
~B+B
-1
.选项(D)正确.仅(C)入选.
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考研数学三
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