[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

admin2019-04-15 47

问题 [2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

选项 A、A^T与B^T相似
B、A^－1与B^－1相似
C、A+A^T与B+B^T相似
D、A+A^－1与B+B^－1相似

答案C

解析因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P^－1AP． ①
在式①两边取转置，得到B^T=(P^－1AP)^T=P^TA^T(P^－1)^T=[(PT)^－1]^－1A^T[(P^T)^－1]
故A^T与B^T相似．选项(A)正确．
在式①两边求逆运算得到B^－1=(P^－1AP)^－1=P^－1A^－1(P^－1)^－1=P^－1A^－1P． ②
故A与A^－1相似．选项(B)正确．
由式①+式②得到B+B^－1=P^－1AP+P^－1A^－1P=P^－1(A+A^－1)P，故A+A^－1～B+B^－1．选项(D)正确．仅(C)入选．

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