2. 考研
  3. [2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

[2016年] 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )．

admin2019-04-15  55
问题 [2016年]  设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(    )．
选项 A、AT与BT相似
B、A－1与B－1相似
C、A+AT与B+BT相似
D、A+A－1与B+B－1相似
答案C
解析 因A～B，故存在可逆矩阵P使得B=P－1AP．    ①
    在式①两边取转置，得到BT=(P－1AP)T=PTAT(P－1)T=[(PT)－1]－1AT[(PT)－1]
故AT与BT相似．选项(A)正确．
    在式①两边求逆运算得到B－1=(P－1AP)－1=P－1A－1(P－1)－1=P－1A－1P．    ②
故A与A－1相似．选项(B)正确．
    由式①+式②得到B+B－1=P－1AP+P－1A－1P=P－1(A+A－1)P，故A+A－1～B+B－1．选项(D)正确．仅(C)入选．
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考研数学三

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