设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。

admin2021-01-19 29

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²一x₂²+ax₃²+2x₁x₂—8x₁x₃+2x₂x₃在正交变换x=Qy下的标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，求a的值及正交矩阵Q。

选项

答案二次型f的矩阵A=[*]。因为其标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，所以｜A｜=[*]=3(2－a)=0。解得a=2。再由｜λE一A｜=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0 解得λ₁=6，λ₂=一3，λ₃=0。当λ=6时，6E－A=[*]，对应的一个特征向量为(一1，0，1)^T；当λ=一3时，一3E一A=[*]，对应的一个特征向量为(1，一1，1)^T；当λ=0时，0E—A=[*]，对应的一个特征向量为(1，2，1)^T。由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得 [*]

解析

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考研数学二

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