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  3. 求证：ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．

求证：ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．

admin2019-08-06  44
问题 求证：ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．
选项
答案引入函数f(x)=ex+e-x+2cosx一5，则f(x)是(一∞，+∞)上的连续偶函数，且f(0)=一1＜0，f’(x)=ex一e-x一2sinx，从而f’(0)=0．又f’’(x)=ex+e-x一2cosx=[*]+2(1一cosx)＞0[*]成立，由此可见f’(x)当x≥0时单调增加，于是f’(x)＞f’(0=：0当x＞0时成立．这表明f(x)在x≥0是单调增加的．注意f(π)=eπ+e-π一7＞23一7=1＞0，故根据闭区间上连续函数的性质可知f(x)=0在(0，π)内至少有一个根，结合f(x)在x≥0严格单调增加可知f(x)=0有且仅有一个正根．由f(x)为(一∞，+∞)上偶函数，f(x)=0还有且仅有一个负根．故方程ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．
解析
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考研数学三

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