设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b)使得eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。

admin2019-01-19  84

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1,证明:必存在ξ,η∈(a,b)使得eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。

选项

答案设F(x)=exf(x),由已知f(x)及ex在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此,存在ξ,η∈(a,b),使得 F(b)一F(a)=ebf(b)一eaf(a)=F'(η)(b一a)=eη[f'(η)十f(η)](b一a)及 eb一ea=eξ(b一a)。 将以上两式相比,且由f(a)=f(b)=1,则有 eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。

解析
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