2. 考研
  3. 设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)． (1)求A的特征值． (2)证明：A不相似于对角矩阵． (3)证明：｜E+A｜=1． (4)若方阵B满足AB=BA，证明：｜A+B｜=｜B｜．

设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)． (1)求A的特征值． (2)证明：A不相似于对角矩阵． (3)证明：｜E+A｜=1． (4)若方阵B满足AB=BA，证明：｜A+B｜=｜B｜．

admin2017-07-26  31
问题 设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)．
    (1)求A的特征值．
    (2)证明：A不相似于对角矩阵．
    (3)证明：｜E+A｜=1．
    (4)若方阵B满足AB=BA，证明：｜A+B｜=｜B｜．
选项
答案(1)设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则Ax=λx，两端左乘A，得A2x=λAx=λ2x，两端再左乘A，得A3x=λ2Ax=λ3x，如此做下去，可得Amx=λmx．因为Am=0，得λmx=0，又x≠0，故有λ=0，所以幂零矩阵A的特征值全为零． (2)A的特征向量为方程组(0．E一A)x=0的非零解，因为A≠0，有r(一A)≥1，故方程组Ax=0的基础解系所含向量的个数，即A的线性无关特征向量的个数为n一r(一A)≤n一1＜n，所以n阶方阵A不相似于对角矩阵． (3)要证明｜E+A｜=1，由特征值的性质知，只要证明E+A的特征值全部为1即可．设λ为E+A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有(E+A)x=λx，即Ax=(λ一1)x，故λ一1为A的特征值，(1)中已证A的特征值全为零，故有λ一1=0，得λ=1，由λ的任意性知E+A的特征值全为1，因此E+A的全部特征值的乘积等于1，即｜E+A｜=1． (4)当方阵B可逆时，欲证的等式为 ｜A+B｜=｜B｜→B—1｜｜A+B｜=1→｜B—1A+E｜=1．利用(3)，要证｜B—1A+E｜=1，只要证B—1A为幂零矩阵即可，等式AB=BA两端左乘B—1，得B—1AB=A，两端右乘B—1，得B—1A=AB—1，即A与B—1可交换，故由Am=0，得(B—1A)m=(B—1)mAm=0，所以，当方阵B可逆时结论成立． 当B不可逆时，即｜B｜=0时，欲证的等式成为｜A+B｜=0．因为｜B｜=0，故B有特征值0，即存在非零列向量ξ，使Bξ=0，故对任意正整数k，有Bkξ=0．注意A与B可交换，有 [*] 即齐次线性方程组(A+B)mx=0有非零解x=ξ，故该方程组的系数行列式为零，即 ｜(A+B)m｜=｜A+B｜m=0， 故｜A+B｜=0，因此当B不可逆时结论也成立． 故得证．
解析
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考研数学三

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