2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1．证明： (Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤(x一a)，x∈[a，b] (Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．

设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1．证明： (Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤(x一a)，x∈[a，b] (Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．

admin2021-01-19  50
问题 设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1．证明：
(Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤(x一a)，x∈[a，b]
(Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．
选项
答案(Ⅰ)由0≤g(x)≤1得 0≤∫0xg(t)dt≤∫0x1dt=(x一a) x∈[a，b] (Ⅱ)令F(u)=∫auf(x)g(x)dx一[*]f(x)dx 只要证明F(b)≥0，显然F(a)=0，只要证明F(u)单调增，又 F’(u)=f(u)g(u)一f(a+∫aug(t)dt)g(u) =g(u)[f(u)一g(a+∫abg(t)dt)] 由(Ⅰ)的结论0≤∫axg(t)dt≤(x一a)知，a≤a+∫axg(t)dt≤x．即 a≤a+∫aug(t)dt≤u 又f(x)单调增加，则f(u)≥f(a+∫abg(t)dt)，因此，F’(u)≥0，F(b)≥0． 故 [*]f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx．
解析
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考研数学二

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