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设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加,0≤g(x)≤1.证明: (Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤(x一a),x∈[a,b] (Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx.
设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加,0≤g(x)≤1.证明: (Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤(x一a),x∈[a,b] (Ⅱ)f(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx.
admin
2021-01-19
48
问题
设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)单调增加,0≤g(x)≤1.证明:
(Ⅰ)0≤∫
a
x
g(t)dt≤(x一a),x∈[a,b]
(Ⅱ)
f(x)dx≤∫
a
b
f(x)g(x)dx.
选项
答案
(Ⅰ)由0≤g(x)≤1得 0≤∫
0
x
g(t)dt≤∫
0
x
1dt=(x一a) x∈[a,b] (Ⅱ)令F(u)=∫
a
u
f(x)g(x)dx一[*]f(x)dx 只要证明F(b)≥0,显然F(a)=0,只要证明F(u)单调增,又 F’(u)=f(u)g(u)一f(a+∫
a
u
g(t)dt)g(u) =g(u)[f(u)一g(a+∫
a
b
g(t)dt)] 由(Ⅰ)的结论0≤∫
a
x
g(t)dt≤(x一a)知,a≤a+∫
a
x
g(t)dt≤x.即 a≤a+∫
a
u
g(t)dt≤u 又f(x)单调增加,则f(u)≥f(a+∫
a
b
g(t)dt),因此,F’(u)≥0,F(b)≥0. 故 [*]f(x)dx≤∫
a
b
f(x)g(x)dx.
解析
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考研数学二
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