2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)． 证明：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．

设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)． 证明：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．

admin2017-11-09  88
问题 设f(χ)在[0，1]连续，在(0，1)可导，f(0)＝0，0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)．
    证明：[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．
选项
答案令F(χ)＝[∫0χf(t)dt]2－∫0χf3(t)dt，易知F(0)＝0，且F(z)在[0，1]可导，则 F′(χ)＝2f(χ)∫0χf(t)dt－f3(χ)＝f(χ)[2∫0χf(t)dt－f2(χ)]． 记g(χ)＝2∫0χf(t)dt－f2(χ)，则g(χ)在(0，1)可导，即 g′(χ)＝2f(χ)－2f(χ)f′(χ)＝2f(χ)[1－f′(χ)]， 由于0＜f′(χ)＜1，χ∈(0，1)，则f(χ)在[0，1]内递增． 则当0＜χ≤1时，f(χ)＞f(0)＝0， 于是g′(χ)＞0，χ∈(0，1)，则g(χ)在[0，1]递增， 即当0＜χ≤1时，g(χ)＞g(0)＝0， 所以，当0＜χ≤1时，F′(χ)＝f(χ)g(χ)＞0， 即F(χ)在0≤χ≤1时递增，故当0＜χ≤1时，F(χ)＞F(0)＝0， 特别地，有F(1)＞0，即[∫01f(χ)dχ]2－∫01f3(χ)dχ＞0， 所以[∫01f(χ)dχ]2＞∫01f3(χ)dχ．
解析
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考研数学三

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