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设f(χ)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(χ)<1,χ∈(0,1). 证明:[∫01f(χ)dχ]2>∫01f3(χ)dχ.
设f(χ)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(χ)<1,χ∈(0,1). 证明:[∫01f(χ)dχ]2>∫01f3(χ)dχ.
admin
2017-11-09
55
问题
设f(χ)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f′(χ)<1,χ∈(0,1).
证明:[∫
0
1
f(χ)dχ]
2
>∫
0
1
f
3
(χ)dχ.
选项
答案
令F(χ)=[∫
0
χ
f(t)dt]
2
-∫
0
χ
f
3
(t)dt,易知F(0)=0,且F(z)在[0,1]可导,则 F′(χ)=2f(χ)∫
0
χ
f(t)dt-f
3
(χ)=f(χ)[2∫
0
χ
f(t)dt-f
2
(χ)]. 记g(χ)=2∫
0
χ
f(t)dt-f
2
(χ),则g(χ)在(0,1)可导,即 g′(χ)=2f(χ)-2f(χ)f′(χ)=2f(χ)[1-f′(χ)], 由于0<f′(χ)<1,χ∈(0,1),则f(χ)在[0,1]内递增. 则当0<χ≤1时,f(χ)>f(0)=0, 于是g′(χ)>0,χ∈(0,1),则g(χ)在[0,1]递增, 即当0<χ≤1时,g(χ)>g(0)=0, 所以,当0<χ≤1时,F′(χ)=f(χ)g(χ)>0, 即F(χ)在0≤χ≤1时递增,故当0<χ≤1时,F(χ)>F(0)=0, 特别地,有F(1)>0,即[∫
0
1
f(χ)dχ]
2
-∫
0
1
f
3
(χ)dχ>0, 所以[∫
0
1
f(χ)dχ]
2
>∫
0
1
f
3
(χ)dχ.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/H6X4777K
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考研数学三
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