设函数y(x)在区间[0，+∞)上有连续导数，并且满足y(x)=－1+x+2(x－t)y(t)yˊ(t)dt求y(x)．

admin2016-04-29 72

问题设函数y(x)在区间[0，+∞)上有连续导数，并且满足y(x)=－1+x+2

(x－t)y(t)yˊ(t)dt求y(x)．

选项

答案对所给方程变形 [*] 方程两端对x求导，得 yˊ(x)=1+2[*]y(t)yˊ(t)dt，继续求导，得 yˊˊ(z)x=2y(x)yˊ(x)，且y(0)=－1，yˊ(0)=1．微分方程不显含自变量x，令P=yˊ，方程可化为 [*] 这是自变量可分离的微分方程，求得通解为 P=y²+c₁，即yˊ=y²+c₁．由y(0)=－1，yˊ(0)=1可得，c₁=0，从而yˊ=y²，所以[*] 再由y(0)=－1，得c₂=1，故函数[*]为所求特解．

解析

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