(Ⅰ)求an=∫0nπx｜sinx｜dx(n为正整数)； (Ⅱ)在第(Ⅰ)问的基础上，求级数anxn-1的收敛域及和函数．

admin2022-04-27 38

问题 (Ⅰ)求a_n=∫₀^nπx｜sinx｜dx(n为正整数)；
(Ⅱ)在第(Ⅰ)问的基础上，求级数

a_nx^n-1的收敛域及和函数．

选项

答案(Ⅰ)a_n=∫₀^nπx｜sin x｜dx[*]∫₀^nπ(nπ-t)｜sint｜dt =nπ∫₀^nπ｜sinx｜dx-∫₀^nπx｜sinx｜dx，移项，得 a_n=[*]nπ∫₀^nπ｜sin x｜dx=[*]n²π∫₀^πsin xdx=n²π． (Ⅱ)[*]a_nx^n-1=π[*]n²x^n-1．由[*]=1，知收敛半径R=1．当x=±1时，级数发散，故收敛域为(-1，1)．令 [*] 则所求和函数为 S(x)=πS₁(x)=[*]，x∈(-1，1)．

解析

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