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(Ⅰ)求an=∫0nπx|sinx|dx(n为正整数); (Ⅱ)在第(Ⅰ)问的基础上,求级数anxn-1的收敛域及和函数.
(Ⅰ)求an=∫0nπx|sinx|dx(n为正整数); (Ⅱ)在第(Ⅰ)问的基础上,求级数anxn-1的收敛域及和函数.
admin
2022-04-27
60
问题
(Ⅰ)求a
n
=∫
0
nπ
x|sinx|dx(n为正整数);
(Ⅱ)在第(Ⅰ)问的基础上,求级数
a
n
x
n-1
的收敛域及和函数.
选项
答案
(Ⅰ)a
n
=∫
0
nπ
x|sin x|dx[*]∫
0
nπ
(nπ-t)|sint|dt =nπ∫
0
nπ
|sinx|dx-∫
0
nπ
x|sinx|dx, 移项,得 a
n
=[*]nπ∫
0
nπ
|sin x|dx=[*]n
2
π∫
0
π
sin xdx=n
2
π. (Ⅱ)[*]a
n
x
n-1
=π[*]n
2
x
n-1
.由[*]=1,知收敛半径R=1.当x=±1时, 级数发散,故收敛域为(-1,1).令 [*] 则所求和函数为 S(x)=πS
1
(x)=[*],x∈(-1,1).
解析
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考研数学三
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