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设奇函数f(x)在[—1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(—1,1),使得f"(η)+f’(η)=1。
设奇函数f(x)在[—1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(—1,1),使得f"(η)+f’(η)=1。
admin
2019-08-06
51
问题
设奇函数f(x)在[—1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
(Ⅱ)存在η∈(—1,1),使得f"(η)+f’(η)=1。
选项
答案
(Ⅰ)令F(x)=f(x)—x,F(0)=f(0)=0,F(1)=f(1)—1=0, 则由罗尔定理知,存在ξ∈(0,1)使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1。 (Ⅱ)令G(x)=e
x
[f’(x)—1],由(Ⅰ)知,存在ξ∈(0,1),使G(ξ)=0,又因为f(x)为奇函数.故f’(x)为偶函数,知G(—ξ)=0,则存在η∈(一ξ,ξ)[*](—1,1),使得G ’(η)=0,即 e
η
(f’(η)—1)+e’e
η
f"(η)=0,f"(η)+f’(η)=1。
解析
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考研数学三
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