设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

admin2016-05-31  35

问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

选项

答案方法一:对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 当a=0时,r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为 x1+x2+…+xn=0, 由此得基础解系为 η1=(-1,1,0,…,0)T,η2=(-1,0,1,…,0)T,…,ηn-1=(-1,0,0,…,1)T, 于是方程组的通解为 x=k1η1+…+kn-1ηn-1,其中k1,…,kn-1为任意常数. 当a≠0时,对矩阵B作初等行变换,有 [*] 由此得基础解系为 η=(1,2,…,n)T, 于是方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数. 方法二:方程组的系数行列式为 [*] 故方程组的同解方程组为 x1+x2+…+xn=0, 由此得基础解系为 η1=(-1,1,0,…,0)T,η2=(-1,0,1,…,0)T,…,ηn-1=(-1,0,0,…,1)T, 于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn-1ηn-1,其中k1,…,kn-1为任意常数. [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1,2,…,n)T,于是方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数.

解析
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