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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2016-05-31  49
问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
选项
答案方法一：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 当a=0时，r(A)=1＜n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+…+xn=0， 由此得基础解系为 η1=(-1，1，0，…，0)T，η2=(-1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(-1，0，0，…，1)T， 于是方程组的通解为 x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1为任意常数． 当a≠0时，对矩阵B作初等行变换，有 [*] 由此得基础解系为 η=(1，2，…，n)T， 于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数． 方法二：方程组的系数行列式为 [*] 故方程组的同解方程组为 x1+x2+…+xn=0， 由此得基础解系为 η1=(-1，1，0，…，0)T，η2=(-1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(-1，0，0，…，1)T， 于是方程组的通解为x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1为任意常数． [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1，2，…，n)T，于是方程组的通解为x=kη，其中k为任意常数．
解析
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考研数学三

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