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设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
admin
2016-05-31
50
问题
设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
选项
答案
方法一:对方程组的系数矩阵A作初等行变换,有 [*] 当a=0时,r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为 x
1
+x
2
+…+x
n
=0, 由此得基础解系为 η
1
=(-1,1,0,…,0)
T
,η
2
=(-1,0,1,…,0)
T
,…,η
n-1
=(-1,0,0,…,1)
T
, 于是方程组的通解为 x=k
1
η
1
+…+k
n-1
η
n-1
,其中k
1
,…,k
n-1
为任意常数. 当a≠0时,对矩阵B作初等行变换,有 [*] 由此得基础解系为 η=(1,2,…,n)
T
, 于是方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数. 方法二:方程组的系数行列式为 [*] 故方程组的同解方程组为 x
1
+x
2
+…+x
n
=0, 由此得基础解系为 η
1
=(-1,1,0,…,0)
T
,η
2
=(-1,0,1,…,0)
T
,…,η
n-1
=(-1,0,0,…,1)
T
, 于是方程组的通解为x=k
1
η
1
+…+k
n-1
η
n-1
,其中k
1
,…,k
n-1
为任意常数. [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 由此得基础解系为η=(1,2,…,n)
T
,于是方程组的通解为x=kη,其中k为任意常数.
解析
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考研数学三
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