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  3. 证明导函数的中间值定理（达布定理）：设函数f（x）在区间[a，b]上可导（注意：不要求导函数f’（x）在区间[a，b]上连续!），则对于任何满足min{f’（A），f’（B）}≤μ≤max{f’（A），f’（B）}的常数μ，存在ξ∈[a，b]使得f’（ξ）

证明导函数的中间值定理（达布定理）：设函数f（x）在区间[a，b]上可导（注意：不要求导函数f’（x）在区间[a，b]上连续!），则对于任何满足min{f’（A），f’（B）}≤μ≤max{f’（A），f’（B）}的常数μ，存在ξ∈[a，b]使得f’（ξ）

admin2016-07-29  27
问题 证明导函数的中间值定理（达布定理）：设函数f（x）在区间[a，b]上可导（注意：不要求导函数f’（x）在区间[a，b]上连续!），则对于任何满足min{f’（A），f’（B）}≤μ≤max{f’（A），f’（B）}的常数μ，存在ξ∈[a，b]使得f’（ξ）=μ．
选项
答案若f’(A)=f’(B)，则取ξ=a或ξ=b即可．若f’(A)≠f’(B)，为了确定起见，无妨设f’(A)＞f’(B)(对f’(A)＜f’(B)的情形可类似证明)．当μ=f’(A)或μ=f’(B)时相应取ξ=a或ξ=b即可．从而只需证明μ介于f’(A)与f’(B)之间的情形定理的结论也成立．引入辅助函数F(x)=f(x)一μ(x一a)，则F’(A)=f’(A)一μ＞0，由导数的定义即得[*]从而存在x1∈(a，b)使得[*]于是F(x1)＞F(A)，这表明F(A)不是F(x)在[a，b]上的最大值．此外还有F’(B)=f’(B)一μ＜0，同样由导数定义得[*]从而存在x2∈(x1，b)使得[*]于是F(x2)＞F(B)，这表明F(6)也不是F(x)在[a，b]上的最大值．综上所述即知必存在ξ∈(a，b)使得F(ξ)是F(x)在[a，b]上的最大值，由F(x)的可导性必有F’(ξ)=0即f’(ξ)=μ．类似可证，在相反的情形下必存在ξ∈(a，b)使得F(ξ)是F(x)在[a，b]上的最小值，由F(x)的可导性也有F’(ξ)=0即f’(ξ)=μ成立．
解析
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考研数学三

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