2. 考研
  3. (2007年试题，21)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=g’’(ξ)．

(2007年试题，21)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=g’’(ξ)．

admin2013-12-18  100
问题 (2007年试题，21)设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=g’’(ξ)．
选项
答案设f(x)，g(x)在(a，b)内某点c∈(a，b)同时取得最大值，则f(c)=g(c)．此时记η=c，则f(η)=g(η)．若两个函数取得最大值的点不同，则可设厂(c)=maf(x)，g(d)=maxg(x)，故有fc)一g(c)>0,f(d)一g(d)<0．由介值定理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在η，使得f(η)=g(η)．由罗尔定理在区间(a，η)，(η，b)内分别存在一点ξ1，ξ2使得f’(ξ1)=g’(ξ1)，g’(ξ2)=g’(ξ2)．在区间(ξ1，ξ2)内再用罗尔定理，即存在ξ∈(ξ1，ξ2)c(a，b)，使得f’’(ξ)=g(ξ)．
解析
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考研数学二

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