(2007年试题,21)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=g’’(ξ).

admin2013-12-18  68

问题 (2007年试题,21)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a)f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=g’’(ξ).

选项

答案设f(x),g(x)在(a,b)内某点c∈(a,b)同时取得最大值,则f(c)=g(c).此时记η=c,则f(η)=g(η).若两个函数取得最大值的点不同,则可设厂(c)=maf(x),g(d)=maxg(x),故有fc)一g(c)>0,f(d)一g(d)<0.由介值定理,在(c,d)内(或(d,c)内)肯定存在η,使得f(η)=g(η).由罗尔定理在区间(a,η),(η,b)内分别存在一点ξ1,ξ2使得f1)=g1),g2)=g2).在区间(ξ1,ξ2)内再用罗尔定理,即存在ξ∈(ξ1,ξ2)c(a,b),使得f’’(ξ)=g(ξ).

解析
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