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设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b.求证:存在ξ∈(a,b),使pf(c)+q f(d)=(p+q)f(ξ),其中P>0,q>0为任意常数.
设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b.求证:存在ξ∈(a,b),使pf(c)+q f(d)=(p+q)f(ξ),其中P>0,q>0为任意常数.
admin
2017-05-10
75
问题
设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b.求证:存在ξ∈(a,b),使pf(c)+q f(d)=(p+q)f(ξ),其中P>0,q>0为任意常数.
选项
答案
利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题. [*] 由f(x)在[a,b]上连续,而[c,d]c[a,b],可知f(x)在[c,d]上连续,于是存在[*] 从而 [*] 即η是f(x)在[c,d]上的值域[m,M]上的一个值. 由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知,必存在ξ∈[c,d]c(a,b)使.f(ξ)=η,即 Pf(c)+qf(d)=(P+)f(ξ)成立.
解析
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考研数学三
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