2. 考研
  3. 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证： (1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0； (2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．

设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证： (1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0； (2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．

admin2021-11-09  28
问题 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，求证：
(1)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0；
(2)存在η∈(a，b)，使ηf(η)+f’(η)=0．
选项
答案(1)设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得，存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0． (2)设F(x)=[*]f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使F’(η)=[*]．η．f(η)=0，即ηf(η)+f’(η)=0．
解析
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考研数学二

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