设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明:存在ε∈(a,b),使得.

admin2019-09-23  29

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明:存在ε∈(a,b),使得.

选项

答案设f’+(a)>0,f’(-)>0, 由f’+(a)>0,存在x1∈(a,b),使得f(x1)>f(a)=0; 由f’(-)>0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)<f(a)=0; 因为f(x1)f(x2)<0,所以由零点定理,存在c∈(a,b),使得f(c)=0. 令h(x)=[*],显然h(x)在[a,b]上连续,由h(a)=h(c)=h(b)=0,存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得h’(ε1)=h’(ε2)=0, 而h’(x)=[*] 令Φ(x)=f’(x)g(x)-f(x)g’(x),Φ(ε1)=Φ(ε2)=0, 由罗尔定理,存在ε∈(ε1,ε2)[*](a,b),使得Φ’(ε)=0, 而Φ’(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x),所以[*].

解析
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