2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明：存在ε∈（a,b)，使得.

设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明：存在ε∈（a,b)，使得.

admin2019-09-23  65
问题 设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，f(a)=f(b)=0,且g(x)≠0,(x∈[a,b]),g"(x)≠0,(a﹤x﹤b),证明：存在ε∈（a,b)，使得.
选项
答案设f’+(a)＞0,f’(-)＞0, 由f’+(a)＞0，存在x1∈(a,b),使得f(x1)＞f(a)=0； 由f’(-)＞0,存在x2∈(a,b),使得f(x2)＜f(a)=0； 因为f(x1)f(x2)＜0,所以由零点定理，存在c∈（a,b),使得f(c)=0. 令h(x)=[*],显然h(x)在[a,b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0,存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得h’(ε1)=h’(ε2)=0, 而h’(x)=[*] 令Φ（x）=f’(x)g(x)-f(x)g’(x),Φ(ε1)=Φ(ε2)=0, 由罗尔定理，存在ε∈（ε1，ε2）[*](a,b),使得Φ’（ε）=0, 而Φ’（x）=f"(x)g(x)-f(x)g"(x),所以[*].
解析
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考研数学二

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