n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n—r(A)+1．

admin2017-10-21 56

问题 n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n—r(A)+1．

选项

答案记s=n—r(A)，则本题要说明两点．(1)存在AX=β的s+1个线性无关的解．(2)AX=β的s+2个解一定线性相关． (1)设ξ为(I)的一个解，η₁，η₂，…，η_S为导出组的基础解系，则ξ不能用η₁，η₂，…，η_S线性表示，因此ξ，η₁，η₂，…，η_S线性无关．ξ，ξ+η₁，ξ+η₂，…，ξ+η_S是(I)的s+1个解，并且它们等价于ξ，η₁，η₂，…，η_S．于是 r(ξ，ξ+η₁，ξ+η₂，…，ξ+η_s)=r(ξ，η₁，η₂，…，η_S)=s+1，因此ξ，ξ+η₁，ξ+η₂，…，ξ+η_s是(I)的s+1个线性无关的解． (2)AX=β的任何s+2个解都可用ξ，η₁，η₂，…，η_s这s+1向量线性表示，因此一定线性相关．

解析

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考研数学三

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n元非齐次线性方程组AX=β如果有解，则解集合的秩为=n—r(A)+1．

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设un＞0(n=1，2，…)，Sn=u1+u2+…+un．证明：收敛．

设A=，且AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，求AX=0的通解．

，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出．

设A，B为n阶矩阵．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．

设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．若A3β=Aβ，求秩r(A—E)及行列式|A+2E|．

证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．

设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解。

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