求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．

admin2021-02-25 48

问题求函数f(x，y)=x²+2y²在约束条件x²+y²=1下的最大值和最小值．

选项

答案解法1：转化为无条件极值．由约束条件可得x²=1-y²，-1≤y≤1，代入目标函数f(x，y)=x²+2y²中，得 φ(y)=(1-y²)+2y²=1+y²，-1≤y≤1．由φ’(Y)=2y=0得唯一驻点y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值为2，最小值为0．故函数f(x，y)=x²+2y²在约束条件x²+y²=1下的最大值和最小值分别为2，0．解法2：利用拉格朗日乘数法．设L(x，y，λ)=x²+2y²+λ(x²+y²-1)，由 [*] 解得可能极值点为(0，±1)，(±1，0)．又f(0，±1)=2，f(±1，0)=1，故f_max=2，f_min=1．

解析考查多元函数条件极值的求法，转化为无条件极值计算或利用拉格朗日乘数法求解．

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考研数学二

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