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  3. 求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．

求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．

admin2021-02-25  28
问题 求函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值．
选项
答案解法1：转化为无条件极值． 由约束条件可得x2=1-y2，-1≤y≤1，代入目标函数f(x，y)=x2+2y2中，得 φ(y)=(1-y2)+2y2=1+y2，-1≤y≤1． 由φ’(Y)=2y=0得唯一驻点y=0，又φ(0)=1，φ(±1)=2，可知φ(y)的最大值为2，最小值为0．故函数f(x，y)=x2+2y2在约束条件x2+y2=1下的最大值和最小值分别为2，0． 解法2：利用拉格朗日乘数法． 设L(x，y，λ)=x2+2y2+λ(x2+y2-1)，由 [*] 解得可能极值点为(0，±1)，(±1，0)． 又f(0，±1)=2，f(±1，0)=1，故fmax=2，fmin=1．
解析 考查多元函数条件极值的求法，转化为无条件极值计算或利用拉格朗日乘数法求解．
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考研数学二

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