2. 考研
  3. (2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

(2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

admin2019-08-01  28
问题 (2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中

    (Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an；
    (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ1；
    (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．
选项
答案(Ⅰ)记Dn＝｜A｜以下用数学归纳法证明Dn＝(n＋1)an． 当n＝1时，D1＝2a，结论成立；当n＝2时， D1＝[*]＝3a2＝(n＋1)an 结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将Dn按第1行展开，得 [*] ＝2aDn-1－a2Dn-2(代入归纳假设Dk＝(k＋1)ak，k＜n) ＝2anan-1－a(n－1)an-2＝(n＋1)an 故｜A｜＝(n＋1)an． (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]｜A｜≠0，即a≠0．此时，由克莱姆法则，将Dn第1列换成b，得行列式 [*] (Ⅲ)当a＝0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n－1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 χ＝(0，1，0，…，0)T＋k(1，0，0，…，0)T 其中k为任意常数．
解析
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考研数学二

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