(2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

admin2019-08-01 105

问题 (2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中

(Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)aⁿ；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ₁；
(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

选项

答案(Ⅰ)记D_n＝｜A｜以下用数学归纳法证明D_n＝(n＋1)aⁿ．当n＝1时，D₁＝2a，结论成立；当n＝2时， D₁＝[*]＝3a²＝(n＋1)aⁿ 结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将D_n按第1行展开，得 [*] ＝2aD_n-1－a²D_n-2(代入归纳假设D_k＝(k＋1)a^k，k＜n) ＝2ana^n-1－a(n－1)a^n-2＝(n＋1)aⁿ 故｜A｜＝(n＋1)aⁿ． (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]｜A｜≠0，即a≠0．此时，由克莱姆法则，将D_n第1列换成b，得行列式 [*] (Ⅲ)当a＝0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n－1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 χ＝(0，1，0，…，0)^T＋k(1，0，0，…，0)^T 其中k为任意常数．

解析

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考研数学二

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(2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

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