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(2008年)设n元线性方程组Aχ=b,其中 (Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求χ1; (Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
(2008年)设n元线性方程组Aχ=b,其中 (Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求χ1; (Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
admin
2019-08-01
58
问题
(2008年)设n元线性方程组Aχ=b,其中
(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)a
n
;
(Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求χ
1
;
(Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
选项
答案
(Ⅰ)记D
n
=|A|以下用数学归纳法证明D
n
=(n+1)a
n
. 当n=1时,D
1
=2a,结论成立;当n=2时, D
1
=[*]=3a
2
=(n+1)a
n
结论成立;假设结论对于小于n的情况成立.将D
n
按第1行展开,得 [*] =2aD
n-1
-a
2
D
n-2
(代入归纳假设D
k
=(k+1)a
k
,k<n) =2ana
n-1
-a(n-1)a
n-2
=(n+1)a
n
故|A|=(n+1)a
n
. (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]|A|≠0,即a≠0.此时,由克莱姆法则,将D
n
第1列换成b,得行列式 [*] (Ⅲ)当a=0时,方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n-1,所以此时方程组有无穷多解,其通解为 χ=(0,1,0,…,0)
T
+k(1,0,0,…,0)
T
其中k为任意常数.
解析
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考研数学二
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