设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A2α线性无关，且满足3Aα－2A2α－A3α＝0，令矩阵P＝[α Aα A2α]， (1)求矩阵B，使AP＝PB； (2)证明A相似于对角矩阵．

admin2018-08-12 34

问题设A为3阶矩阵，3维列向量α，Aα，A²α线性无关，且满足3Aα－2A²α－A³α＝0，令矩阵P＝[α Aα A²α]，
(1)求矩阵B，使AP＝PB；
(2)证明A相似于对角矩阵．

选项

答案(1)AP＝A[α Aα A²α]＝[Aα A²α A³α]＝[Aα A²α 3Aα－2A²α] [*] (2)由(1)有AP＝PB，因P可逆，得P^-1AP＝B，即A与B相似，易求出B的特征值为0，1，－3，故A的特征值亦为0，1，－3，A_3×3有3个互不相同特征值，因此A相似于对角阵．

解析

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