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已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设a=(1,2,-1)T且满足Aα=2α。 (Ⅰ)求该二次型表达式; (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值。
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设a=(1,2,-1)T且满足Aα=2α。 (Ⅰ)求该二次型表达式; (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换; (Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值。
admin
2020-03-05
47
问题
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设a=(1,2,-1)
T
且满足Aα=2α。
(Ⅰ)求该二次型表达式;
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换;
(Ⅲ)若A+kE正定,求k的取值。
选项
答案
(Ⅰ)根据已知条件,有 [*] 即得方程组 [*] 解得a
12
=2,a
13
=2,a
23
=-2。 所以 f(x)=x
T
Ax=4x
1
x
2
+4x
1
x
3
-4x
2
x
3
。 (Ⅱ)由|λE-A|=[*]=(λ-2)
2
(λ+4),得矩阵A的特征值为2,2,-4。 由(2E-A)X=0及 [*] 得λ=2的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
; 由(-4E-A)x=0及[*],得λ=-4的特征向量α
3
=(-1,1,1)
T
。 将α
1
,α
2
正交化。令β
1
=α
1
,则 β
2
=α
2
-([α
2
,β
1
]/[β
1
,β
1
])β
1
=[*] 再对β
1
,β
2
,α
3
单位化,有 [*] 那么令 [*] x
T
Ax=y
T
Λy=2y
1
2
+2y
2
2
-4y
3
2
。 (Ⅲ)因为由(Ⅱ)中结论可知,A+kE的特征值为k+2,k+2,k-4,所以当k>4时,矩阵A+kE正定。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HfS4777K
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考研数学一
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