2. 考研
  3. 已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设a=(1，2，-1)T且满足Aα=2α。 (Ⅰ)求该二次型表达式； (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值。

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设a=(1，2，-1)T且满足Aα=2α。 (Ⅰ)求该二次型表达式； (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值。

admin2020-03-05  40
问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设a=(1，2，-1)T且满足Aα=2α。
    (Ⅰ)求该二次型表达式；
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
    (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值。
选项
答案(Ⅰ)根据已知条件，有 [*] 即得方程组 [*] 解得a12=2，a13=2，a23=-2。 所以 f(x)=xTAx=4x1x2+4x1x3-4x2x3。 (Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=(λ-2)2(λ+4)，得矩阵A的特征值为2，2，-4。 由(2E-A)X=0及 [*] 得λ=2的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T； 由(-4E-A)x=0及[*]，得λ=-4的特征向量α3=(-1，1，1)T。 将α1，α2正交化。令β1=α1，则 β2=α2-([α2，β1]／[β1，β1])β1=[*] 再对β1，β2，α3单位化，有 [*] 那么令 [*] xTAx=yTΛy=2y12+2y22-4y32。 (Ⅲ)因为由(Ⅱ)中结论可知，A+kE的特征值为k+2，k+2，k-4，所以当k＞4时，矩阵A+kE正定。
解析
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考研数学一

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