已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设a=(1，2，-1)T且满足Aα=2α。 (Ⅰ)求该二次型表达式； (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值。

admin2020-03-05 27

问题已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设a=(1，2，-1)^T且满足Aα=2α。
(Ⅰ)求该二次型表达式；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；
(Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值。

选项

答案(Ⅰ)根据已知条件，有 [*] 即得方程组 [*] 解得a₁₂=2，a₁₃=2，a₂₃=-2。所以 f(x)=x^TAx=4x₁x₂+4x₁x₃-4x₂x₃。 (Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=(λ-2)²(λ+4)，得矩阵A的特征值为2，2，-4。由(2E-A)X=0及 [*] 得λ=2的特征向量α₁=(1，1，0)^T，α₂=(1，0，1)^T；由(-4E-A)x=0及[*]，得λ=-4的特征向量α₃=(-1，1，1)^T。将α₁，α₂正交化。令β₁=α₁，则 β₂=α₂-([α₂，β₁]／[β₁，β₁])β₁=[*] 再对β₁，β₂，α₃单位化，有 [*] 那么令 [*] x^TAx=y^TΛy=2y₁²+2y₂²-4y₃²。 (Ⅲ)因为由(Ⅱ)中结论可知，A+kE的特征值为k+2，k+2，k-4，所以当k＞4时，矩阵A+kE正定。

解析

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考研数学一

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已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设a=(1，2，-1)T且满足Aα=2α。 (Ⅰ)求该二次型表达式； (Ⅱ)求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换； (Ⅲ)若A+kE正定，求k的取值。

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