2. 考研
  3. 设函数f只有可去间断点．定义g(x)=f(y)，证明g为连续函数．

设函数f只有可去间断点．定义g(x)=f(y)，证明g为连续函数．

admin2022-10-31  25
问题 设函数f只有可去间断点．定义g(x)=f(y)，证明g为连续函数．
选项
答案设g的定义域为D，x0∈D．则g(x0)=[*]f(y)．从而对[*]ε＞0，[*]δ＞0，使得当y∈U0(x0；δ)时，｜f(y)-g(x0)｜＜ε，即g(x0)-ε＜f(y)＜g(x0)+ε；设x∈U0(x0；δ)，由g(x)=f(y)知g(x)的值由f(y)在邻域U0(x0；δ)的值决定，而在U0(x0，δ)内，g(x0)-ε＜f(y)＜g(x0)+ε．由极限的保不等式性和g(x)=[*]f(y)得g(x0)-ε≤g(x)≤g(x0)+ε．即当x∈U0(x0；δ)时，｜g(x)-g(x0)｜≤ε．故g(x)在x0连续．由x0的任意性知，g(x)在D上连续．
解析
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考研数学二

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