设函数f只有可去间断点.定义g(x)=f(y),证明g为连续函数.

admin2022-10-31  28

问题 设函数f只有可去间断点.定义g(x)=f(y),证明g为连续函数.

选项

答案设g的定义域为D,x0∈D.则g(x0)=[*]f(y).从而对[*]ε>0,[*]δ>0,使得当y∈U0(x0;δ)时,|f(y)-g(x0)|<ε,即g(x0)-ε<f(y)<g(x0)+ε;设x∈U0(x0;δ),由g(x)=f(y)知g(x)的值由f(y)在邻域U0(x0;δ)的值决定,而在U0(x0,δ)内,g(x0)-ε<f(y)<g(x0)+ε.由极限的保不等式性和g(x)=[*]f(y)得g(x0)-ε≤g(x)≤g(x0)+ε.即当x∈U0(x0;δ)时,|g(x)-g(x0)|≤ε.故g(x)在x0连续.由x0的任意性知,g(x)在D上连续.

解析
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